Question

（1）m為何值時，f（x）=x²+2mx+3m+4①有且僅有一個零點；②有兩個零點且均比-1大；
（2）若函數f（x）=|4x-x²|+a有4個零點，求褸a取值范圍．

Answer 1

分析：（1）二次函數結合圖象求解，函數f（x）=x²+2mx+3m+4有且僅有一個零點，等價于△=4m²-4（3m+4）=0．
（2）利用函數圖象求解，g（x）=|4x-x²|和h（x）=-a的圖象有4個交點，如圖所示．

解答：解：（1）①若函數f（x）=x²+2mx+3m+4有且僅有一個零點，
則等價于△=4m²-4（3m+4）=0，
即4m²-12m-16=0，即m²-3m-4=0，解得m=4或m=-1
②若f（x）有兩個零點且均比-1大，
結合二次函數圖象可知只需滿足

△=4m2-4(3m+4)＞0 - 2m 2 ＞-1 f(-1)＞0

等價于

m2-3m-4＞0 m＜1 1-2m+3m+4＞0

?

m＞4或m＜-1 m＜1 m＞-5

，
故-5＜m＜-1，∴m的取值范圍是{m|-5＜m＜-1}．
（2）若f（x）=|4x-x²|+a有4個零點，
即|4x-x²|+a=0有四個根，即|4x-x²|=-a有四個根，
令g（x）=|4x-x²|，h（x）=-a．則作出g（x）的圖象，
由圖象可知要使|4x-x²|=-a有四個根，則g（x）與h（x）的圖象應有4個交點．
故需滿足0＜-a＜4，即-4＜a＜0．∴a的取值范圍是（-4，0）．

點評：本題考查函數零點，零點與方程的根的關系，體現了數形結合的數學思想．