Question

已知A_n（a_n，b_n）（n∈N^*）是曲線y=e^x上的點，a₁=a，S_n是數列{a_n}的前n項和，且滿足S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n=2，3，4，…．
（1）證明：數列{

bn+2

bn

}（n≥2）是常數數列；
（2）確定a的取值集合M，使a∈M時，數列{a_n}是單調遞增數列；
（3）證明：當a∈M時，弦A_nA_n+1（n∈N^*）的斜率隨n單調遞增．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n≥2時，由已知得S_n²-S_n-1²=3n²a_n，由此可得

bn+2

bn

=

ean+2

ean

=ean+2-an=e6，所以數列{

bn+2

bn

}(n≥2)是常數數列．

（Ⅱ）由題設條件可知a₂=12-2a、a₃+a₂=15，a₄+a₃=21，所以a₃=3+2a，a₄=18-2a，數列{a_2k}和{a_2k+1}分別是以a₂，a₃為首項，6為公差的等差數列，所以a_2k=a₂+6（k-1），a_2k+1=a₃+6（k-1），a_2k+2=a₄+6（k-1）（k∈N*），再由數列{a_n}是單調遞增數列能夠推陳出a的取值集合．

（Ⅲ）弦A_nA_n+1的斜率為kn=

bn+1-bn

an+1-an

=

ean+1-ean

an+1-an

，因為a_n＜a_n+1＜a_n+2，所以kn=

ean+1-ean

an+1-an

＜

ean+2-ean

an+2-an

．因為kn+1=

ean+1-ean+2

an+1-an+2

＞

ean-ean+2

an-an+2

．所以k_n＜k_n+1，即弦A_nA_n+1（n∈N*）的斜率隨n單調遞增．

解答：解：（Ⅰ）當n≥2時，由已知得S_n²-S_n-1²=3n²a_n，
因為a_n=S_n-S_n-1≠0，所以S_n+S_n-1=3n²①，
于是S_n+1+S_n=3（n+1）²②，
由②-①得a_n+1+a_n=6n+3③，
于是a_n+2+a_n+1=6n+9④，
由④-③得a_n+2-a_n=6⑤，
所以

bn+2

bn

=

ean+2

ean

=ean+2-an=e6，即數列{

bn+2

bn

}(n≥2)是常數數列．

（Ⅱ）由①有S₂+S₁=12，所以a₂=12-2a、由③有a₃+a₂=15，a₄+a₃=21，所以a₃=3+2a，a₄=18-2a．
而⑤表明：數列{a_2k}和{a_2k+1}分別是以a₂，a₃為首項，6為公差的等差數列，
所以a_2k=a₂+6（k-1），a_2k+1=a₃+6（k-1），a_2k+2=a₄+6（k-1）（k∈N*），
數列{a_n}是單調遞增數列?a₁＜a₂且a_2k＜a_2k+1＜a_2k+2對任意的k∈N*成立．?a₁＜a₂且a₂+6（k-1）＜a₃+6（k-1）＜a₄+6（k-1）?a₁＜a₂＜a₃＜a₄?a＜12-2a＜3+2a＜18-2a?

9

4

＜a＜

15

4

．
即所求a的取值集合是M={a|

9

4

＜a＜

15

4

}．

（Ⅲ）解：弦A_nA_n+1的斜率為kn=

bn+1-bn

an+1-an

=

ean+1-ean

an+1-an

，
任取x₀，設函數f(x)=

ex-ex0

x-x0

，則f(x)=

ex(x-x0)-(ex-ex0)

(x-x0)2

，
記g(x)=ex(x-x0)-(ex-ex0)，則g'（x）=e^x（x-x₀）+e^x-e^x=e^x（x-x₀），
當x＞x₀時，g'（x）＞0，g（x）在（x₀，+∞）上為增函數，
當x＜x₀時，g'（x）＜0，g（x）在（-∞，x₀）上為減函數，
所以x≠x₀時，g（x）＞g（x₀）=0，從而f'（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，x₀）和（x₀，+∞）上都是增函數．
由（II）知，a∈M時，數列{a_n}單調遞增，
取x₀=a_n，因為a_n＜a_n+1＜a_n+2，所以kn=

ean+1-ean

an+1-an

＜

ean+2-ean

an+2-an

．
取x₀=a_n+2，因為a_n＜a_n+1＜a_n+2，所以kn+1=

ean+1-ean+2

an+1-an+2

＞

ean-ean+2

an-an+2

．
所以k_n＜k_n+1，即弦A_nA_n+1（n∈N*）的斜率隨n單調遞增．

點評：本題考查數列知識的綜合運用，解題時要認真審題，深入挖掘題設中的隱含條件．