Question

若函數對任意的，均有，則稱函數具有性質.

（Ⅰ）判斷下面兩個函數是否具有性質，并說明理由.

①；    ②.

（Ⅱ）若函數具有性質，且（），

求證：對任意有；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否對任意均有.若成立給出證明，若不成立給出反例.

Answer 1

（Ⅰ）證明：①函數具有性質.                     ……………1分

，

因為，，                                 ……………3分

即，

此函數為具有性質.

②函數不具有性質.                                 ……………4分

例如，當時，，

，                             ……………5分

所以，，

此函數不具有性質.

（Ⅱ）假設為中第一個大于的值，     ……………6分

則，

因為函數具有性質，

所以，對于任意，均有，

所以，

所以，

與矛盾，

所以，對任意的有.                   ……………9分

（Ⅲ）不成立.

例如                              ……………10分

證明：當為有理數時，均為有理數，

，

當為無理數時，均為無理數，

所以，函數對任意的，均有，

即函數具有性質.                                      ……………12分

而當（）且當為無理數時，.

所以，在（Ⅱ）的條件下，“對任意均有”不成立.……………13分

（其他反例仿此給分.

如，，，等.）