Question

【題目】已知三棱錐P﹣ABC的所有棱長(zhǎng)為1．M是底面△ABC內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且M到三個(gè)側(cè)面PAB，PBC，PAC的距離h1，h2，h3成單調(diào)遞增的等差數(shù)列，記PM與AB，BC，AC所成的角分別為α，β，γ，則下列正確的是（　　）

A.α＝βB.β＝γC.α＜βD.β＜γ

Answer 1

【答案】D

【解析】

PM與AB，BC，AC所成的角分別為α，β，γ，即比較OM與AB，BC，AC夾角的大小，然后在△ABC中解決問(wèn)題, 由于d1＜d2＜d3，可知M在如圖陰影區(qū)域（不包括邊界）

從圖中可以看出，OM與BC所成角小于OM與AC所成角,即得解.

依題意知正四面體P﹣ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，

由余弦定理可知，

cosα＝cos∠PMOcos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直線MO與AB的夾角，

同理可以將β，γ轉(zhuǎn)化，

cosβ＝cos∠PMOcos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直線MO與BC的夾角，

cosγ＝cos∠PMOcos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直線MO與AC的夾角，

由于∠PMO是公共的，因此題意即比較OM與AB，BC，AC夾角的大小，

設(shè)M到AB，BC，AC的距離為d1，d2，d3 則d1＝sin，其中θ是正四面體相鄰兩個(gè)面所成角，sinθ，

所以d1，d2，d3成單調(diào)遞增的等差數(shù)列，然后在△ABC中解決問(wèn)題

由于d1＜d2＜d3，可知M在如圖陰影區(qū)域（不包括邊界）

從圖中可以看出，OM與BC所成角小于OM與AC所成角，所以β＜γ，

故選：D．