Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=0，，n=2，3，4，…．
（Ⅰ）求a₅，a₆，a₇的值；
（Ⅱ）設，試求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）對于任意的正整數n，試討論a_n與a_n+1的大小關系．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知a₁=0，a₂=1+2a₁=1，a₃=2+2a₁=2，a₄=1+2a₂=3，由此可知a₅=3+2a₂=5；a₆=1+2a₃=5；a₇=4+2a₃=8．
（Ⅱ）由題設條件知，由此可知．
（Ⅲ）對于任意的正整數k，當n=2k或n=1，3時，a_n＜a_n+1；當n=4k+1時，a_n=a_n+1；當n=4k+3時，a_n＞a_n+1．再由題設條件進行證明．
解答：解：（Ⅰ）∵a₁=0，a₂=1+2a₁=1，a₃=2+2a₁=2，a₄=1+2a₂=3，
∴a₅=3+2a₂=5；a₆=1+2a₃=5；a₇=4+2a₃=8．（3分）
（Ⅱ）由題設，對于任意的正整數n，都有：，
∴．∴數列{b_n}是以為首項，為公差的等差數列．
∴．（7分）
（Ⅲ）對于任意的正整數k，
當n=2k或n=1，3時，a_n＜a_n+1；
當n=4k+1時，a_n=a_n+1；
當n=4k+3時，a_n＞a_n+1．（8分）
證明如下：
首先，由a₁=0，a₂=1，a₃=2，a₄=3可知n=1，3時，a_n＜a_n+1；
其次，對于任意的正整數k，n=2k時，a_n-a_n+1=a_2k-a_2k+1=（1+2a_k）-（k+1+2a_k）=-k＜0；（9分）n=4k+1時，
a_n-a_n+1=a_4k+1-a_4k+2
=（2k+1+2a_2k）-（1+2a_2k+1）
=2k+2a_2k-2a_2k+1
=2k+2（1+2a_k）-2（k+1+2a_k）
=0
所以，a_n=a_n+1．（10分）n=4k+3時，a_n-a_n+1=a_4k+3-a_4k+4
=（2k+2+2a_2k+1）-（1+2a_2k+2）
=2k+1+2a_2k+1-2a_2k+2
=2k+1+2（k+1+2a_k）-2（1+2a_k+1）
=4（k+a_k-a_k+1）+1
事實上，我們可以證明：對于任意正整數k，k+a_k≥a_k+1（*）（證明見后），所以，此時，a_n＞a_n+1．
綜上可知：結論得證．（12分）
對于任意正整數k，k+a_k≥a_k+1（*）的證明如下：
1）當k=2m（m∈N^*）時，k+a_k-a_k+1=2m+a_2m-a_2m+1=2m+（1+2a_m）-（m+1+2a_m）=m＞0，
滿足（*）式．
2）當k=1時，1+a₁=1=a₂，滿足（*）式．
3）當k=2m+1（m∈N^*）時，
k+a_k-a_k+1=2m+1+a_2m+1-a_2m+2
=2m+1+（m+1+2a_m）-（1+2a_m+1）
=3m+1+2a_m-2a_m+1
=2（m+a_m-a_m+1）+（m+1）
于是，只須證明m+a_m-a_m+1≥0，如此遞推，可歸結為1）或2）的情形，于是（*）得證．（14分）
點評：本題考查數知識的綜合運用，解題時要注意挖掘題設中的隱含條件．