Question

【題目】已知關于的二次函數.

（1）設集合和，分別從集合和中隨機取一個數作為和，求函數在區間上是增函數的概率；

（2）設點是區域內的隨機點，記事件“函數有兩個零點，其中一個大于1，另一個小于1”為事件，求事件發生的概率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）基本事件的總數有種，要函數在給定區間上單調遞增，則需開口向上，且對稱軸要小于或等于，由此得到的大小關系，并通過列舉得出符合題意的事件總數，利用古典概型計算公式計算得到概率.（2）“函數有兩個零點，其中一個大于1，另一個小于1”，由于函數開口向上，故只需，畫出可行域及符合題意的范圍，利用面積比得到所求的概率.

試題解析：

（1）記“函數在區間上是增函數”為事件．

若使事件發生，由于，則只需使得，即．

所以，事件包含的基本事件分別為，共5個；

所有基本事件共個．

由古典概型的概率計算公式得， ，

綜上，函數在區間上是增函數的概率為；

（2）若使事件發生，由于，所以只需，

所有結果構成的平面區域為，事件包含的結果構成的平面區域為，

如圖所示：

由幾何概型的概率計算公式得， ．