Question

在直角坐標系xOy中，設P為兩動圓（x+2）²+y²=（r+2）²，（x-2）²+y²=r²（r＞1）的一個交點，記動點P的軌跡為C．給出下列三個結論：
①曲線C過坐標原點；
②曲線C關于x軸對稱；
③設點P（x，y），則有|y|＜|2x|．
其中，所有正確的結論序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據P到兩圓圓心的距離之差是定值，根據雙曲線定義判斷曲線類型，再寫出方程；然后利用方程驗證是否過原點，是否關于x軸對稱，是否滿足|y|＜|2x|即可．
解答：解：設A（-2，0），B（2，0），動點P（x，y），
根據題意：|PA|-|PB|=2
∴根據雙曲線的定義判定，P點的軌跡是雙曲線的右支，
方程式：-=1，（x＞0）
∵（0，0）不是方程的解，∴①不正確；
設點M（x，y）曲線上的任一點，M關于x軸的對稱點為N（x，-y），
∵N的坐標也滿足方程，∴N在曲線上，∴曲線C關于x軸對稱，②正確；
∵4x²=4（1+）=4+2y²＞y²，∴|y|＜|2x|．故③正確．
答案是②③
點評：本題借助考查命題的真假判斷，考查雙曲線的定義及定義法求軌跡方程．
定義法求軌跡方程的基本步驟：根據條件判斷動點軌跡類型--根據已知曲線的標準方程求出特征量--寫出軌跡方程，再證明以方程的解為坐標的點都在曲線上．