Question

已知函數，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數求導，令f′（1）=0，即可解出a值．
（2）f′（x）＞0，對a的取值范圍進行討論，分類解出單調區間．a≥2時，在區間（0，+∞）上是增函數，
（3）由（2）的結論根據單調性確定出最小值，當a≥2時，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1，恒成立；當0＜a＜2時，判斷知最小值小于1，此時a無解．當0＜a＜2時，（x）的單調減區間為，單調增區間為
解答：解：（1），
∵f′（x）在x=1處取得極值，f′（1）=0
  即 a+a-2=0，解得  a=1
（2），
∵x≥0，a＞0，
∴ax+1＞0
①當a≥2時，在區間（0，+∞）上f′（x）＞0．
∴f（x）的單調增區間為（0，+∞）
②當0＜a＜2時，由f′（x）＞0解得
由
∴f（x）的單調減區間為，單調增區間為
（3）當a≥2時，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1
當0＜a＜2時，由（II）②知，處取得最小值，
綜上可知，若f（x）的最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）
點評：考查導數法求單調區間與求最值，本類題型是導數的主要運用．