Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）若函數存在最小值，且最小值大于，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實數，使得，求證：函數在區間上單調遞增。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)詳見解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，求出函數的最小值，從而確定a的范圍即可；

（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），得到f（x1）＞f（2a﹣x1），結合f（x1）＝f（x2），從而證明結論．

（Ⅰ）f′（x），

①a≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，

∴f（x）在（0，+∞）遞增，故無最小值；

②a＞0時，由f′（x）＞0，解得：x＞a，

由f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，

故f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，

此時f（x）有最小值，且f（x）min＝a（1﹣a﹣lna），

令g（a）＝1﹣a﹣lna（a＞0），

則g（a）在（0，+∞）遞減，又g（1）＝0，

∴0＜a＜1時，g（a）＞0，此時f（x）min＞0，

a≥1時，g（a）≤0，此時f（x）min≤0，

故a的范圍是（0，1）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在實數x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），則a＞0，

∵f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，

不妨設0＜x1＜x2，則0＜x1＜a，

令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），

則h′（x），

∴x∈（0，a）時，h′（x）＜0，

∴h（x）在（0，a）遞減，

∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，

即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，

∴f（x1）＞f（2a﹣x1），

∵f（x1）＝f（x2），

∴f（x2）＞f（2a﹣x1），

∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，

∵f（x）在（a，+∞）遞增，

∴x2＞2a﹣x1，∴a，

∴函數f（x）在區間[，+∞）遞增，

∵x1≠x2，∴，

∴函數f（x）在區間[，+∞）上單調遞增．