Question

已知等差數列{a_n}滿足：a₁=2，公差d≠0，
（1）若a₁，a₂，a₄成等比數列，求a_n；
（2）已知a₅＜0，若當且僅當n=5時，|a_n|取得最小值，求d的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意可設a_n=2+（n-1）d，d≠0（1）若a₁，a₂，a₄成等比數列，則

a

2 2

=a1•a4，即（2+d）²=2•（2+3d），解此方程可得d，代回原式可得答案；
（2）由a₅＜0，可得d＜-

1

2

，又當且僅當n=5時，|a_n|取得最小值，故

a4＞0 |a5|＜a4

，即

2+3d＞0 -2-4d＜2+3d

，解不等式組可得d的范圍．

解答：解：由題意可設a_n=2+（n-1）d，d≠0，-------------------（1分）
（1）若a₁，a₂，a₄成等比數列，則

a

2 2

=a1•a4，------------------（2分）
即（2+d）²=2•（2+3d），化簡得d（d-2）=0，
∵d≠0，∴d=2，----------------------------（4分）
∴a_n=2n------------------------------------------------------（5分）
（2）∵a₅＜0，∴2+4d＜0，得d＜-

1

2

，--------------（6分），
若當且僅當n=5時，|a_n|取得最小值，則

a4＞0 |a5|＜a4

，
即

2+3d＞0 -2-4d＜2+3d

，得

d＞- 2 3 d＞- 4 7

，---------------------------（9分）
又d＜-

1

2

，∴-

4

7

＜d＜-

1

2

，
即d的取值范圍是(-

4

7

，-

1

2

)．-----------------------（10分）

點評：本題為等差與等比數列的結合，準確把條件轉化為不等式來求解是解決問題的關鍵，屬基礎題．