Question

設直線x=1是函數f（x）的圖象的一條對稱軸，對于任意x∈R，f（x+2）=-f（x），當-1≤x≤1時，f（x）=x³．
（1）證明：f（x）是奇函數；
（2）當x∈[3，7]時，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）要證f（x）是奇函數，由定義知即證f（-x）=-f（x），由x=1是f（x）的圖象的一條對稱軸，可得f（x+2）=f（-x），再由主條件f（x+2）=-f（x），可找到f（-x）與f（x）關系．
（2）本題關鍵是將自變量從[3，7]轉化到[-1，1]上解決，所以先由f（x+2）=-f（x）變形得到f（x+4）=f（x）可知周期T=4．再由x=1是f（x）的圖象的一條對稱軸兩者結合起來可得解．

解答：（1）證明∵x=1是f（x）的圖象的一條對稱軸，
∴f（x+2）=f（-x）．又∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+2）=-f（-x），即f（-x）=-f（x）．∴f（x）是奇函數．
（2）解∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]
=-f（x+2）=f（x），∴T=4．若x∈[3，5]，則（x-4）∈[-1，1]，
∴f（x-4）=（x-4）³．又∵f（x-4）=f（x），
∴f（x）=（x-4）³，x∈[3，5]．若x∈（5，7]，
則（x-4）∈（1，3]，f（x-4）=f（x）．
由x=1是f（x）的圖象的一條對稱軸可知f[2-（x-4）]=f（x-4）
且2-（x-4）=（6-x）∈[-1，1]，
故f（x）=f（x-4）=f（6-x）=（6-x）³=-（x-6）³．
綜上可知f（x）=

(x-4)3           3≤x≤5 -(x-6)3        5＜x≤7.

點評：本題主要考查函數奇偶性的判斷，變形轉化是關鍵，還考查了求區間上的解析式，要注意求哪個區間上的解析式，要在哪個區間上取變量，同時，求解析式一定要用其他區間上的解析式，所以通過函數性質轉化區間是問題的關鍵．