Question

已知等差數列{a_n}和正項等比數列{b_n}，a₁=b₁=1，a₃+a₇=10，b₃=a₄
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式
（2）若c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的性質求出a₅，利用等差數列的通項公式求出公差d，再利用等差數列的通項公式求出通項；利用等比數列的通項公式求出公比，進一步求出通項．
（2）求出c_n，據其特點是由一個等差數列與一個等比數列的乘積構成，利用錯位相減法求出數列的前n項和．

解答：解：（1）依題意，{a_n}為等差數列設其公差為d；{b_n}為等比數列，設其公比為q，則可知q＞0
∵a₃+a₇=10
∴2a₅=10即a₅=5
又a₁=1
∴a₅-a₁=4d=4解得d=1
故a_n=a₁+（n-1）d=n
由已知b₃=a₄=4
∴q2=

b3

b1

=4即q=2
∴b_n=b₁q^n-1=2^n-1
∴a_n=n，b_n=2^n-1
（2）∵c_n=a_n•b_n=n•2^n-1
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1
∴2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ
兩式相減得-T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n×2n=(1-n)×2n-1
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1

點評：求數列的前n項和，首先求出數列的通項，根據數列通項的特點，選擇合適的求和方法．