Question

甲、乙兩人用兩顆骰子做游戲，規則如下：若某人擲出的兩顆骰子向上的點數之和為3的倍數，則該人繼續投擲；若投出的點數之和不是3的倍數，則由對方接著投擲．第一次由甲開始投擲．

(1)設第n次是由甲投擲的概率為P_n，求P_n；

(2)前三次投擲中，恰好甲投擲兩次的概率是多少?

Answer 1

答案：(1)兩顆骰子向上的點數之和為3的倍數的情況有1+2，1+5，2+1，2+4，3+3，3+6，4+2，4+5，5+1，5+4，6+3，6+6共12種．所以投擲一次向上點數之和為3的倍數的概率是．

又“第n次由甲投擲”這一事件包括“第n-1次由甲投擲，第n次仍由甲投擲”和“第n-1次由乙投擲，第n次由甲投擲”兩種情形，

∴P_n=P_n-1+(1)(1-P_n-1)=P_n-1P_n(P_n-1)．

于是{P_n}是公比為的等比數列，從而P_n=(P₁)·()^n-1．

∵P₁=1，∴P_n．

故P_n=[1+()^n-1]．

(2)由(1)知，P₁=1，P₂=，P₃=，

由于規定第一次是甲投擲，所以前三次投擲中甲恰好投擲兩次的情形只有兩種：

甲甲乙，甲乙甲，因而其概率為

P=1×.