Question

寫出下列數列的一個通項公式:

(1),,,,…；

(2)－1,,－,,…；

(3)5,55,555,5555,…；

(4),1,,,…；

(5) ,－,,－,….

Answer 1

解:(1)每一項由三部分構成,①分母是從3開始的奇數列,可表示為a_n=2n+1.②分子的前一部分為從2開始的自然數的平方列,表示為a_n=(n+1)²,③分子的后一部分為減去一個非零的自然數,表示為a_n=n,綜合①②③得a_n=.

(2)數列的符號規律為(－1)ⁿ,由第二、三、四項特點,可將第一項看作－,這樣,先不考慮符號,則分母為3,5,7,9,…,其通項為a_n=2n+1,分子為3,8,15,24,…,將其每一項加1后變為4,9,16,25,…,該數列的通項為a_n=(n+1)².綜上知,數列的通項公式為a_n=(－1)ⁿ·=  (－1)ⁿ.

(3)將每個數進行分解,a₁=5=5·1=5·；a₂=55=5·11=5·=5·；a₃=555=5·111=5·=5·,由它的演變過程不難得到a_n=(10ⁿ－1).

(4)將所給數列變形得,,,,…,進一步寫成,,,…,可得a_n=.

(5)符號規律為(－1)ⁿ⁺¹,分子為(2n－1)²,分母為2n,則a_n=(－1)ⁿ⁺¹.