Question

已知等比數列{a_n}滿足Sn=2n-1，(n∈N*)
①求數列{a_n}的通項公式；
②若數列{bn}滿足bn=anlo

g

an+1 2

，求數列{bn}的前n項和Tn．

Answer 1

分析：①由等比數列的前n項和求出前兩項，則公比可求，然后直接代入等比數列的通項公式得答案；
②把數列{a_n}的通項公式代入b_n=a_nlog₂a_n+1，利用對數的運算性質化簡，最后利用錯位相減法求數列的前n項和．

解答：解：①在等比數列{a_n}中，由滿足Sn=2n-1，(n∈N*)，
得a₁=S₁=1，a₂=S₂-a₁=3-1=2，
∴q=

a2

a1

=2，∴a_n=2^n-1（n∈N^*）；
②由a_n=2^n-1，∴an+1=2n，
∴bn=anlog2an+1=2n-1log22n=n•2^n-1，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1  ①
2Tn=1•21+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n  ②
①-②得：-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n=

1×(1-2n)

1-2

-n•2n，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評：本題考查了等比關系的確定，考查了等比數列的通項公式，訓練了利用錯位相減法求數列的和，是中檔題．