Question

（選修4-5：不等式選講）
已知正數x，y，z滿足x²+y²+z²=1．
（Ⅰ）求x+2y+2z的最大值；
（Ⅱ）若不等式|a-3|≥x+2y+2z對一切正數x，y，z恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分析題目已知x²+y²+z²=1，求x+2y+3z的最大值．考慮到應用柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²），首先構造出柯西不等式求出（x+2y+2z）²的最大值，開平方根即可得到答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式|a-3|≥x+2y+2z對一切正數x，y，z恒成立，當且僅當|a-3|≥3成立，

解答：解：（Ⅰ）因為已知x²+y²+z²=1根據柯西不等式：
（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）構造得：
（x+2y+2z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+2²）≤1×9=9
故x+2y+2z≤

9

=3．當且僅當x=

y

2

=

z

2

時取等號．
則當x=

1

3

，y=z=

2

3

時x+2y+2z的最大值是3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式|a-3|≥x+2y+2z對一切正數x，y，z恒成立，
當且僅當|a-3|≥3成立，
即

a＜3 3-a≥3

或

a≥3 a-3≥3

，解得a≤0，或a≥6，
所以實數a的取值范圍是（-∞，0]∪[6，+∞）．

點評：本小題主要考查基本不等式的應用、配湊法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．