Question

已知f（x）=（+）²（x≥0），又數列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，這個數列的前n項和的公式S_n（n∈N^*）對所有大于1的自然數n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=（n∈N^*），求證（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于已知條件給出的是S_n與S_n-1的函數關系，而要求的是a_n的通項公式，故關鍵是確定S_n．知道S_n后，能夠導出數列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n==1+-，知b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-．從而能夠導出（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．
解答：解：（1）∵f（x）=（+）²，
∴S_n=（+）²．
∴-=．又=，
故有=+（n-1）=n，
即S_n=2n²（n∈N^*）．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2；
當n=1時，a₁=2，適合a_n=4n-2．
因此，a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）∵b_n==1+-，
∴b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-．
從而（b₁+b₂++b_n-n）=（1-）=1．
點評：本題考查數列的極限及其應用，解題時要注意數列的性質的靈活運用．