Question

設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.
（1）求；
（2）若從中抽取一個(gè)公比為的等比數(shù)列，其中，且，.
①當(dāng)取最小值時(shí)，求的通項(xiàng)公式；
②若關(guān)于的不等式有解，試求的值.

Answer 1

（1），（2）①，②

試題分析：
（1）解等差數(shù)列問題，主要從待定系數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā).由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出公差d即可，（2）①利用等比數(shù)列每一項(xiàng)都為等差數(shù)列中項(xiàng)這一限制條件，對(duì)公比逐步進(jìn)行驗(yàn)證、取舍，直到滿足.因?yàn)檠芯康氖?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033113582304.png" style="vertical-align:middle;" />取最小值時(shí)的通項(xiàng)公式，因此可從第二項(xiàng)開始進(jìn)行驗(yàn)證，首先滿足的就是所求的公比，②由①易得與的函數(shù)關(guān)系，并由為正整數(shù)初步限制取值范圍，當(dāng)且時(shí)適合題意，當(dāng)且時(shí)，不合題意.再由不等式有解，歸納猜想并證明取值范圍為本題難點(diǎn)是如何說明當(dāng)時(shí)不等式即無解，可借助研究數(shù)列單調(diào)性的方法進(jìn)行說明.
試題解析：
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，  2分
所以.              4分
（2）因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列，所以數(shù)列的公比，
若，則由，得，此時(shí)，由，
解得，所以，同理；          6分
若，則由，得，此時(shí)，
另一方面，，所以，即，    8分
所以對(duì)任何正整數(shù)，是數(shù)列的第項(xiàng)．所以最小的公比．
所以．                    10分
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033114705994.png" style="vertical-align:middle;" />，得，而，
所以當(dāng)且時(shí)，所有的均為正整數(shù)，適合題意；
當(dāng)且時(shí)，不全是正整數(shù)，不合題意.
而有解，所以有解，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，，時(shí)，都是的解，適合題意；          12分
下證當(dāng)時(shí)，無解, 設(shè)，
則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033114986745.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在上遞減，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033115032490.png" style="vertical-align:middle;" />，所以恒成立，所以，所以恒成立，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，無解.       15分
綜上所述，的取值為                  16分