Question

甲、乙、丙三名教師指導(dǎo)五名學(xué)生a、b、c、d、e參加全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，每位老師至少指導(dǎo)一名學(xué)生，教師甲資歷最老，只指導(dǎo)其中的一名學(xué)生．
（I）求教師甲指導(dǎo)學(xué)生a的概率；
（II）求教師乙至少指導(dǎo)兩名學(xué)生的概率；
（III）設(shè)教師丙指導(dǎo)學(xué)生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知，本題是一個(gè)古典概型，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從5名學(xué)生中選1個(gè)，共有C₅¹種結(jié)果，
而滿足條件的事件只有一種，
設(shè)教師甲指導(dǎo)學(xué)生a為事件A，
∴P（A）=
（Ⅱ）設(shè)教師乙只指導(dǎo)一名學(xué)生為事件B，
則教師乙至少指導(dǎo)兩名學(xué)生為事件B的對立事件，
∵P（B）==
∴P（）=1-P（B）=
（Ⅲ）教師丙指導(dǎo)學(xué)生的人數(shù)為ξ，由題意知知ξ=1，2，3，
P（ξ=1）==；

P（ξ=2）==
P（ξ=3）==
∴ξ的分布列為

∴E_ξ=++=2．
分析：（Ⅰ）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從5名學(xué)生中選1個(gè)，共有C₅¹種結(jié)果，而滿足條件的事件只有一種，根據(jù)古教師丙指導(dǎo)學(xué)生的人數(shù)為ξ典概型概率公式得到結(jié)果．
（II）教師乙至少指導(dǎo)兩名學(xué)生的對立事件是教師乙只指導(dǎo)一名學(xué)生，做出教師乙只指導(dǎo)一名學(xué)生的概率，利用對立事件的概率公式得到結(jié)果．
（III）教師丙指導(dǎo)學(xué)生的人數(shù)為ξ，根據(jù)每位老師至少指導(dǎo)一名學(xué)生，教師甲資歷最老，只指導(dǎo)其中的一名學(xué)生，得到變量的可能取值，寫出分布列，求出期望．
點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望問題，考查古典概型，考查對立事件的概率，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，是可以得滿分的一道題目．