Question

已知函數f(x)=ln(x+2)+

a

x

，g(x)=blnx，
（Ⅰ） 若b＞0，x₂＞x₁＞e，求證：x₂g（x₁）＞x₁g（x₂）；
（Ⅱ）討論函數f（x）在（0，+∞）內的單調性；
（Ⅲ）是否存在正實數a，b，使方程f（x）=g（x）有兩個不相等的實數根？若存在，求出正實數a，b應滿足的條件；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）引入新函數y=

lnx

x

，研究其單調性知其是一個減函數，x₂＞x₁＞e比較其函數值，整理即可得到結論．
（Ⅱ）對函數f(x)=ln(x+2)+

a

x

，求導，利用導數研究其單調性，由于導數中含有參數a故要對其取值范圍進行討論．
（Ⅲ）方程f（x）=g（x）有兩個不相等的實數根即f（x）-g（x）=0有兩個根，故可以構造新函數F（x）=f（x）-g（x），研究函數的性質確定其有兩個零點的條件，即可解出參數a，b的值或確定其不存在．

解答：解：（Ⅰ）證明：設h（x）=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

，當x＞e時，h′（x）＜0，∴h（x）在（e，+∞）內是減函數，又x₂＞x₁＞e，∴h（x₁）＞h（x₂）即

lnx1

x1

＞

lnx2

x2

，故得x₂lnx₁＞x₁lnx₂．又b＞0，故有bx₂lnx₁＞bx₁lnx₂，即x₂g（x₁）＞x₁g（x₂）；
（Ⅱ）由題意，f′(x)=

1

x+2

-

a

x2

=

x2-ax-2a

(x+2)x2

，x∈（0，+∞）
①當a≤0時，對于x∈（0，+∞），由f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．
②當a＞0時，由f'（x）＞0，解得x＞

a+ a2+8a

2

，由f'（x）＜0，解得0＜x＜

a+ a2+8a

2

，∴函數f（x）在（0，

a+ a2+8a

2

）內是減函數，在（

a+ a2+8a

2

，+∞）內是增函數．綜上當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數．當a＞0時，函數f（x）在（0，

a+ a2+8a

2

）內是減函數，在（

a+ a2+8a

2

，+∞）內是增函數．
（Ⅲ）設F（x）=f（x）-g（x）=ln(x+2)+

a

x

-blnx，其中a，x∈（0，+∞），則F′（x）=

1

x+2

-

a

x2

-

b

x

，
當0＜b≤1時，由于x∈（0，+∞），可得ln（x+2）＞blnx又

a

x

＞0，故F（x）＞0恒成立，此時不可能有零點；
當b＞1時，∵

1

x+2

＜

b

x

∴

1

x+2

-

b

x

＜0又

a

x2

＞0，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（0，+∞）上是減函數，因此它在定義域內至多有一個零點，
綜上，無論a，b為怎么樣的正實數，函數都不可能有兩個零點，故不存在這樣的正實數a，b使得使方程f（x）=g（x）有兩個不相等的實數根．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，求解本題的關鍵是求出導數，根據函數的解析式與導數的形式對函數的單調性進行研究，本題中的第二小題屬于探究型題目，要根據所能得出的性質對函數的性質進行推測，如本題中0＜b≤1時沒有從導數的角度研究零點的存在性，而采取了從函數值恒正的角度，解題時根據題設條件選擇合適的角度對問題進行研究很關鍵．本題運算量較大，易因運算馬虎出錯，變形時一定要嚴謹．