Question

若函數y=f（x）存在反函數y=f^-1（x），由函數y=f（x）確定數列{a_n}，a_n=f（n），由函數y=f^-1（x）確定數列{b_n}，bn=f^-1（n），則稱數列{b_n}是數列{a_n}的“反數列”．
（1）若數列{b_n}是函數f（x）=

x+1

2

確定數列{a_n}的反數列，試求數列{b_n}的前n項和S_n；
（2）若函數f（x）=2

x

確定數列{c_n}的反數列為{d_n}，求{d_n}的通項公式；
（3）對（2）題中的{d_n}，不等式

1 dn+1

+

1 dn+2

+…+

1 d2n

＞

1

2

log（1-2a）對任意的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

x+1

2

，知f^-1（x）=2x-1，所以b_n=2n-1，由此能求出S_n．
（2）由f（x）=2

x

，知f-1(x)=

x2

4

，由此能求出{d_n}的通項公式．
（3）記Tn=

1 dn+1

+

1 dn+2

+…+

1 d2n

，得Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，故T_n+1-T_n=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

x+1

2

，
∴f^-1（x）=2x-1，
所以b_n=2n-1，
S_n=2（1+2+3+…+n）-n
=2×

n(n+1)

2

-n=n²．（4分）
（2）∵f（x）=2

x

，∴f-1(x)=

x2

4

，
所以d_n=

n2

4

．
（3）記Tn=

1 dn+1

+

1 dn+2

+…+

1 d2n

，
得Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，
T_n+1-T_n=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，
所以{T_n}遞增，故（T_n）_min=T₁=1．
由已知得，

1

2

loga(1-2a)＜1，
解得0＜a＜

2

-1，
∴實數a的取值范圍是（0，

2

-1）．

點評：本題考查數列與函數的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意反函數的合理運用，合理地進行等價轉化．