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已知函數(shù)f(x)=
1+a•2x
2x+1
是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性并用定義法證明;
(3)若對任意x∈R+不等式f(x+
2
x
-
m
)≤-
1
3
恒成立,求實數(shù)m的范圍.
分析:(1)利用奇函數(shù)的定義,列出等式,即可求實數(shù)a的值;
(2)化簡函數(shù),求得函數(shù)的單調(diào)性,再利用定義進行證明;
(3)先化為具體不等式,再分離參數(shù)求最值,即可求實數(shù)m的范圍.
解答:解:(1)由題意,f(-x)=-f(x),
1+a•2-x
2-x+1
=-
1+a•2x
2x+1

a+2-x
2x+1
=-
1+a•2x
2x+1

∴a=-1;
(2)f(x)=
1-2x
2x+1
=-1+
2
2x+1
在R上為減函數(shù),證明如下:
設x1<x2,則f(x1)-f(x2)=
2
2x1+1
-
2
2x2+1
=
2x2+1-2x1+1
(2x1+1)(2x2+1)

∵x1<x2,∴2x2+1-2x1+1>0
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2
∴f(x)在R上為減函數(shù);
(3)不等式f(x+
2
x
-
m
)≤-
1
3
恒成立,等價于f(x+
2
x
-
m
)≤f(1)

∵f(x)在R上為減函數(shù)
x+
2
x
-
m
≤1

m
≤x+
2
x
-1

∵x>0,∴x+
2
x
-1≥2
2
-1

m
≤2
2
-1

∴0≤m≤9-4
2
點評:本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,考查恒成立問題,確定函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為具體不等式是關鍵,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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