Question

設(shè)函數(shù)。

（Ⅰ）若在定義域內(nèi)存在，使不等式能成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）1；（2）

【解析】

試題分析：（1）不等式轉(zhuǎn)化為：能成立，求m最小值。可以轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值。（2）函數(shù)在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)不同的解，可以令，結(jié)合圖形研究函數(shù)的性質(zhì)即可。

解答過程：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。  ………………1分

求導(dǎo)得：，…………………………………2分

∵函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313272266776026/SYS201301131328330896390733_DA.files/image013.png">， ……………………………………3分

當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上是增函數(shù)。 …………5分

∴，  ∴。故實(shí)數(shù)的最小值為1。……………………6分(Ⅱ)由得：

…………………7分

由題設(shè)可得：方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)相異實(shí)根。

設(shè)。∵，列表如下：

		－	0	＋
		減函數(shù)		增函數(shù)

∵，∴。

從而有，                

畫出函數(shù)在區(qū)間上的草圖（見圖），

易知要使方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，

只需：，即： 。 ……………12分

考點(diǎn)：本題考查了含參函數(shù)中參數(shù)的轉(zhuǎn)化問題，將存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值和函數(shù)性質(zhì)的研究，還需要借助圖象工具，數(shù)形結(jié)合，為一道水平較高的題目。

點(diǎn)評(píng)：本題需要靈活轉(zhuǎn)化，還要有一定邏輯分析能力和一定的計(jì)算能力，在難度上屬于中等偏上，第一問計(jì)算簡單，第二步計(jì)算在能力要求上有所增加。