Question

已知拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1（m∈R）．
（1）當m為何值時，拋物線與x軸有兩個不同的交點？
（2）若關于x的方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0的兩個不等實根的倒數平方和不大于2，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知m≠1，且△=（m-2）²+4（m-1）＞0，解方程即可求解m的范圍
（2）可設方程的兩實根為x₁，x₂，結合韋達定理可得：x₁+x₂=

2-m

m-1

，x₁x₂=

1

1-m

，然后代入

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，結合已知即可求解

解答：解：（1）由題意可知m≠1，且△＞0，
即（m-2）²+4（m-1）＞0，
得m²＞0，
所以m≠1且m≠0．
（2）由（1）知△＞0，所以設方程的兩實根為x₁，x₂，
由韋達定理可得：x₁+x₂=

2-m

m-1

，x₁x₂=

1

1-m

所以

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=m-2
∴

1

x12

+

1

x22

=（m-2）²+2（m-1）≤2
所以m²-2m≤0，
所以0≤m≤2．
又由（1）知m≠1且m≠0，
所以m的范圍為0＜m＜1或1＜m≤2．

點評：本題主要考查了一元二次方程的根的存在與根與系數關系的應用，解題的關鍵是具備一定的計算及推理的能力