Question

設直線l：2x+y-2=0與橢圓x²+

y2

4

=1的交點為A、B，點P是橢圓上的動點，則使△PAB面積為

1

3

的點P的個數為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：把直線方程與橢圓方程聯立求得交點A和B的坐標，利用兩點間的距離公式求出AB的長，再根據三角形的面積求出AB邊上的高，設出P的坐標，利用點到直線的距離公式表示出P到直線l的距離即為AB邊上的高，得到關于a和b的方程，把P代入橢圓方程得到關于a與b的另一個關系式，兩者聯立利用根的判別式判斷出a與b的值有幾對即可得到交點有幾個．

解答： 解：聯立

2x+y-2=0 x2+ y2 4 =1

，解得

x=0 y=2

或

x=1 y=0

，則A（0，2），B（1，0），
∴AB=

(0-1)2+(2-0)2

=

5

，
∵△PAB的面積為

1

3

，
AB邊上的高為

2 5

15

．
設P的坐標為（a，b），代入橢圓方程得：a²+

b2

4

=1，
P到直線2x+y-2=0的距離d=

|2a+b-2|

5

=

2 5

15

，即6a+3b-8=0或6a+3b-4=0；
聯立得：

6a+3b-8=0 a2+ b2 4 =1

①或

6a+3b-4=0 a2+ b2 4 =1

②，
把①中的b消去得：18a²-24a+7=0，
∵△=（-24）²-4×18×7=72＞0，∴a有兩個不相等的根，則對應的b也有兩個不等的根，滿足題意的P的坐標有兩個；
由②消去b得：18a²-12a-5=0，
∵△=（-12）²+4×18×5＞0，∴a有兩個不相等的根，則對應的b也有兩個不等的根，滿足題意的P的坐標有兩個．
綜上，使△PAB面積為

1

3

的點P的個數為4．
故選：B．

點評：本題考查學生會求直線與橢圓的交點坐標，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值．同時要求學生會利用根的判別式判斷方程解的情況，是中檔題．