Question

設雙曲線的兩條漸近線l₁，l₂與以點（1，0）為圓心，為半徑的圓相切．
（I）求a的值；
（II）若雙曲線C的兩個焦點分別為F₁、F₂，A、B分別為l₁，l₂上的點，且2|AB|=3|F₁F₂|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設知：l₁，l₂的方程為：，由點到直線的距離公式得，由此能求出a的值．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），由2|AB|=3|F₁F₂|，知=，再由，，能求出線段AB的中點M的軌跡．
解答：解：（I）由題設知：l₁，l₂的方程為：，
由點到直線的距離公式得
，
∴a=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），
∵2|AB|=3|F₁F₂|，
∴
=，
又，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
∴，，
∴，
∴，
即，
所以M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為的橢圓．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．