Question

已知數列{a_n}，其前n項和S_n滿足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常數），且a₁=1，a₃=4．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，表示出a₃=S₃-S₂=4λ²  解次方程即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 S_n+1=2S_n+1整理得S_n+1+1=2（S_n+1），求出S_n，再利用數列中a_n，Sn的關系求出a_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n+1=2λS_n+1得S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1
∴a₃=S₃-S₂=4λ²，∵a₃=4，λ＞0，∴λ=1
（Ⅱ）由S_n+1=2S_n+1整理得S_n+1+1=2（S_n+1），
∴數列{S_n+1}是以S₁+1=2為首項，以2為公比的等比數列
∴S_n+1=2•2^n-1，∴S_n=2ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2）
∵當n=1時，a₁=1滿足a_n=2^n-1，∴a_n=2^n-1

點評：本題考查數列中a_n，Sn的關系及應用、等比數列的判定、通項公式，考查變形構造的能力．屬于中檔題題．