Question

已知二次函數y=f（x）的圖象經過原點，且f（x-1）=f（x）+x-1．
（1）求f（x）的表達式．
（2）設F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），當x∈[-1，1]時，F（x）有最大值14，試求a的值．

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）圖象經過原點，∴設f（x）=ax²+bx（a≠0），
∵f（x-1）=f（x）+x-1，
∴a（x-1）²+b（x-1）=ax²+bx+x-1，即ax²-（2a-b）x+a-b=ax²+（b+1）x-1，
∴．
∴．
（2）由F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a^2x+2a^x-1，
①當a＞1時，令t=a^x，
∵x∈[-1，1]，∴，
∴g（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2，，
∵對稱軸t=-1，∴g（t）在上是增函數．
∴g（a）=a²+2a-1=14，∴a²+2a-15=0，解得a=3，a=-5（舍）；
②當0＜a＜1時，
令u=a^x，∵x∈[-1，1]，∴，
∴g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，，
∵對稱軸u=-1，∴g（u）在上是增函數．
∴，∴（舍），∴，
綜上或a=3．
分析：（1）待定系數法：由f（x）圖象經過原點可設f（x）=ax²+bx（a≠0），由f（x-1）=f（x）+x-1得關于a，b的方程組，解出即可；
（2）F（x）可化為F（x）=a^2x+2a^x-1，令t=a^x，則F（x）可轉化為關于t的二次函數，分a＞1，0＜a＜1兩種情況進行討論，利用二次函數的單調性可得最大值，令其為14，可解得a值；
點評：本題考查復合函數的單調性、二次函數的性質，考查分類討論思想，考查學生解決問題的能力．