Question

(本題滿分14分)
如圖所示，在正三棱柱ABC -A₁B₁C₁中，底面邊長和側棱長都是2，D是側棱CC₁上任意一點，E是A₁B₁的中點。

（I）求證：A₁B₁//平面ABD；
（II）求證：AB⊥CE；
（III）求三棱錐C-ABE的體積。

Answer 1

（Ⅰ）證明：見解析；（Ⅱ）見解析；
(Ⅲ) 。

本題給出所有棱長都相等的正三棱柱，求證線面平行并求三棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質、線面平行的判定和柱體錐體的體積公式等知識，屬于中檔題．
（I）根據三棱柱的側面ABB₁A₁是平行四邊形，得A₁B₁∥AB，再結合線面平行的判定定理，可得A₁B₁∥平面ABD；
（II）取AB中點F，連接EF、CF．根據線面垂直的性質證出EF⊥AB，結合正△ABC中，中線CF⊥AB，所以AB⊥平面CEF，從而可得AB⊥CE；
（III）由三棱錐E-ABC與三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高，得三棱錐E-ABC的體積等于正三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積的 ，求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積，從而得出三棱錐E-ABC的體積，即得三棱錐C-ABE的體積．
解：（Ⅰ）證明：由正三木棱住的性質知∥AB，
因為，
所以∥平面ABD.……………………………………4分
（Ⅱ）設AB中點為G，連結GE，GC。

又EG∥，
又
而…………………………９分
(Ⅲ)由題意可知：
………………………1４分