Question

已知圓M：（x+1）²+y²=16及定點N（1，0），點P是圓M上的動點，線段PN的中垂線與線段PM相交于點G，則點G的軌跡C的方程為________．

Answer 1

分析：根據圓M的標準方程得到點M坐標（-1，0），圓的半徑R=4．再由線段中垂線定理，可化簡出GM+GN=PM=4，從而得出點G的軌跡C是以M、N為焦點，2a=4的橢圓．最后根據橢圓的基本概念，即可得出點G的軌跡C對應的橢圓的標準方程．
解答：解：∵圓M方程為：（x+1）²+y²=16
∴點M（-1，0），半徑R=4，
∵線段PN的中垂線與線段PM相交于點G，
∴GN=GP，可得GM+GN=GM+GP=PM
∵點P是圓M上的動點，∴PM長為圓M的半徑4
∴動點G滿足GM+GN=4，點G的軌跡C是以M、N為焦點，2a=4的橢圓．
可得a²=4，c=1，b²=a²-c²=3
∴軌跡C的方程為
故答案為：
點評：本題借助一個動點的軌跡，得到橢圓的第一定義，進而求出其軌跡方程．著重考查了線段的垂直平分線定理和橢圓的基本概念等知識點，屬于基礎題．