Question

（2010•唐山三模）在△ABC中，∠A=15°，∠B=105°，若以A，B為焦點的橢圓經過點C．則該橢圓的離心率e=

2

2

．

Answer 1

分析：先根據△ABC中，∠A=15°，∠B=105°，借助于正弦定理求出三角形ABC的三邊長，因為三角形ABC為橢圓中的焦點三角形，所以可用三邊長表示橢圓中的長軸長2a和焦距2c，再代入離心率公式即可．

解答：解：∵△ABC中，∠A=15°，∠B=105°，
設三角形外接圓半徑為R，則有正弦定理得：
∴|AB|=2RsinC=2Rsin60°，|BC|=2RsinA=2Rsin15°，|AC|=2RsinB=2Rsin105°．
∵橢圓以B，C為焦點，且經過A點，
∴2a=|AC|+|CB|，2c=|BA|
∴橢圓離心率e=

c

a

=

2c

2a

=

|BA|

|AC|+|BC|

=

2Rsin60°

2Rsin15°+2Rsin105°

=

sin60°

sin15°+sin105°

=

sin60°

sin(60°-45°)+sin(60°+45°)

=

sin60°

(sin60°cos45°-cos60°sin45°)+(sin60°cos45°+cos60°sin45°)

=

sin60°

2sin60°cos45°

=

1

2

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：本題主要考查橢圓中離心率的求法，關鍵是借助焦點三角形中的三邊關系求出a，c之間的關系，最后借助于兩角和與差的正弦求出結論．