Question

已知函數(shù)f(x)=

x2

2

-mx，其中m為實常數(shù)．
（1）當m=

1

2

時，求不等式f（x）＜x的解集；
（2）當m變化時，討論關(guān)于x的不等式f(x)+

x

2

≥0的解集．

Answer 1

分析：（1）將m的值代入函數(shù)f（x）中，列出不等式是一個二次不等式，求出相應(yīng)的二次方程的根，據(jù)二次方程根的形式寫出其解集．
（2）通過因式分解得到二次不等式相應(yīng)的兩個根0，2m-1，通過討論m的范圍得到兩個根的大小，據(jù)二次不等式的解集形式寫出解集．

解答：解（1）當m=

1

2

時，由f（x）＜x，
得

x2

2

-

x

2

＜x，
即x（x-3）＜0．
∴不等式的解集是{x|0＜x＜3}，
（2）由f(x)+

x

2

≥0，
得

x2

2

-mx+

x

2

≥0，
即x[x-（2m-1）]≥0．
當2m-1＞0，即m＞

1

2

時，不等式的解集為{x|x≤0或x≥2m-1}；     
當2m-1＜0，即m＜

1

2

時，不等式的解集為{x|x≥0或x≤2m-1}；     
當2m-1=0，即m=

1

2

時，不等式的解集為R．

點評：求二次不等式的解問題，若含參數(shù)一般需要討論，一般從二次項系數(shù)的符號、判別式的符號、兩個根的大小三個方面進行討論，屬于難題．