Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+θ），其中A＞0，ω＞0，0＜θ＜π，x∈R，f（x）的圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為

π

2

，且當x=-

π

3

時f（x）取得最小值-1．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的單調遞增區間；
（2）已知函數g（x）=sinx，
①函數y=f（x）的圖象可由y=g（x）的圖象經過怎樣的變換得到？
②請直接寫出F(x)=

sinx

x

的三個性質，不必證明．

Answer 1

分析：（1）利用函數的對稱中心的距離得到函數的周期，通過x=-

π

3

時f（x）取得最小值-1，求出A，求出θ，即可得到f（x）的解析式通過正弦函數的單調增區間求解f（x）的單調遞增區間；
（2）①函數y=f（x）的圖象可由y=g（x）的圖象經過左加右減的平移變換以及伸縮變換得到函數的解析式．
 ②請直接寫出F(x)=

sinx

x

的三個性質，例如函數的奇偶性，周期性，最值，單調性．

解答：解：（1）由已知f（x）的圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為

π

2

，得

T

2

=

π

2

，

T

2

=

π

2

，T=π，又T=

2π

|ω|

，ω＞0，∴ω=2…（1分）
由當x=-

π

3

時f（x）取得最小值-1，
∵A＞0，x∈R，得A=1，sin(-2×

π

3

+θ)=-1，
∵0＜θ＜π，∴θ=

π

6

（3分）∴f(x)=sin(2x+

π

6

)．由

2kπ- π 2 ≤2x+ π 6 ≤2kπ+ π 2 (k∈Z)， ∴[kπ- π 3 ，kπ+ π 6 ](k∈Z)

∴f（x）的單調遞增區間[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)…（6分）
（2）①函數y=f（x）的圖象可由y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位后，
再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標不變而得到．  …（9分）
或函數y=f（x）的圖象可由y=sinx的圖象各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標不變后，
再將得到的圖象上向左平移

π

12

個單位而得到．  …（9分）
 ②如F(x)=

sinx

x

的性質有：
定義域上的偶函數，不是周期函數，在（0，π]上單調遞增，
在（0，π]無最小值，最大值為0，等等．
…（12分）   （寫出一個性質得1分）

點評：本題考查函數的解析式的求法，三角函數圖象的平移變換與伸縮變換，正弦函數的基本性質，考查基本知識的應用．