Question

【題目】對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0 ， 則稱(chēng)x0是f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若函數(shù)f（x）=2x+ ﹣5，求此函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)f（x）=ax2﹣x+3在x∈（1，+∞）上有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=2x+ ﹣5，

由f（x）=x，即x+ ﹣5=0，

即為x2﹣5x+4=0，解得x=1和4，

則此函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為1，4

（2）解：二次函數(shù)f（x）=ax2﹣x+3在x∈（1，+∞）上有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，

即為ax2﹣2x+3=0在x∈（1，+∞）上有兩個(gè)不等的實(shí)根，

當(dāng)a＞0時(shí)，△=4﹣12a＞0，且a﹣2+3＞0， ＞0，解得0＜a＜ ；

當(dāng)a＜0，由于對(duì)稱(chēng)軸x= ＜0，在x∈（1，+∞）上沒(méi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，不成立．

綜上可得，0＜a＜ ．

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0， ）

【解析】（1）由定義可得f（x）=x，解方程即可得到所求不動(dòng)點(diǎn)；（2）由題意可得ax2﹣2x+3=0在x∈（1，+∞）上有兩個(gè)不等的實(shí)根，討論a＞0或a＜0和判別式大于0，對(duì)稱(chēng)軸介于x=1的右邊，x=1的函數(shù)值大于0，解不等式即可得到所求范圍．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．