Question

平面內點P與兩定點A₁（-a，0），A₂（a，0）（其中a＞0）連線的斜率之積為非零常數m，已知點P的軌跡是橢圓C，離心率是．
（1）求m的值；
（2）設橢圓的焦點在x軸上，若過點（2，3）且斜率為-1的直線被橢圓C所截線段的長度為，求此橢圓的焦點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可分別表示出動點P與兩定點的連線的斜率，根據其之積為常數，求得x和y的關系式，對k的范圍進行分類討論，看k的范圍根據圓錐曲線的標準方程可推斷出離心率，從而求得m的值．
（2）設出所求直線方程，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得a值，從而解決問題．
解答：解：（1）依題意可知 •=m，整理得y²-mx²=-ma²，
當m＜0時，方程的軌跡為橢圓：，
當橢圓的焦點在x軸上時，∴c=
∴e===，∴m=-；
當橢圓的焦點在y軸上時，c=，
∴e===，
∴m=-2．
（2）過點（2，3）且斜率為-1的直線方程為y-3=-（x-2），
聯立得：，從而有：3x²-20x+50-a²=0，
∵△=20²-4×3×（50-a²）=4（3a²-50）≥0，
設兩交點的坐標分別為：（x₁，y₁），（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=，
x₁x₂=，
所截線段的長度為d===，
解得a=，
此時焦點坐標為（±，0）．
點評：本題主要考查了圓錐曲線的綜合，考查了學生對圓錐曲線標準方程的求解和應用．屬于中檔題．