Question

如圖，線段過y軸上一點，所在直線的斜率為，兩端點、到y軸的距離之差為.
(Ⅰ)求出以y軸為對稱軸，過、、三點的拋物線方程；
(Ⅱ)過拋物線的焦點作動弦，過、兩點分別作拋物線的切線，設其交點為，求點的軌跡方程，并求出的值.

Answer 1

(Ⅰ)拋物線方程為 ； (Ⅱ) 。

(I)設所在直線方程為，拋物線方程為
且， ,,再讓直線AB的方程與拋物線的方程聯立，借助韋達定理建立關于p的方程，求出p值，確定出拋物線的方程.
(II) 設，，然后利用導數求出經過C、D的切線方程，求出交點M的坐標，設的直線方程為，代入得,根據是方程的兩個根,確定點M的軌跡方程以后，解決此問題才有了正確的出口.
(Ⅰ)設所在直線方程為，拋物線方程為，且， ，不妨設，     即
把代入得 
       故所求拋物線方程為 ---------4分
(Ⅱ)設，
過拋物線上、兩點的切線方程分別是，
兩條切線的交點的坐標為
設的直線方程為，代入得
 故的坐標為　點的軌跡為---------------8分
   


而 
故          -----------------------------------12分