Question

（2012•廣東）設a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用區間表示）；
（2）求函數f（x）=2x³﹣3（1+a）x²+6ax在D內的極值點．

Answer 1

（1）
（2）見解析

（1）記h（x）=2x²﹣3（1+a）x+6a（a＜1）
△=9（1+a）²﹣48a=（3a﹣1）（3a﹣9）
當△＜0，即，D=（0，+∞）
當，
當a≤0，
（2）由f'（x）=6x²﹣6（1+a）x+6a=0得x=1，a
①當，f（x）在D內有一個極大值點a，有一個極小值點
②當，∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0
h（a）=2a²﹣3（1+a）a+6a=3a﹣a²＞0
∴1∉D，a∈D
∴f（x）在D內有一個極大值點a
③當a≤0，則a∉D
又∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1＜0
∴f（x）在D內有無極值點