Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的圖象與x軸相切于點（3，0）． （Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）+f（x）=﹣6x2+（3c+9）x，命題p：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|＞1為假命題，求實數c的取值范圍；
（Ⅲ）若h（x）+f（x）=x3﹣7x2+9x+clnx（c是與x無關的負數），判斷函數h（x）有幾個不同的零點，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）f′（x）=3x2+2ax+b，∵函數f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的圖象與x軸相切于點（3，0）． ∴f′（3）=27+6a+b=0，f（3）=27+9a+3b=0，聯立解得：a=﹣6，b=9．
∴f（x）=x3﹣6x2+9x．
（II）命題p：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|＞1為假命題，等價于：命題：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤1為真命題．∵g（x）+f（x）=﹣6x2+（3c+9）x，∴g（x）=﹣x3+3cx．
由命題：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤1為真命題，可得|g（1）﹣g（﹣1）|≤1，解得： ．
又g′（x）=﹣3x2+3c=﹣3 ．可得：函數g（x）在 ， 內為減函數，在 內為增函數．
∵函數g（x）為奇函數，且|g（1）﹣g（﹣1）|≤1，∴只需|g（ ）﹣g（﹣ ）|≤1，則：4c ≤1，解得c≤ ．
綜上可得：c的取值范圍是 ≤c≤ ．
（III）h（x）+f（x）=x3﹣7x2+9x+clnx（c是與x無關的負數），∴h（x）=clnx﹣x2 ， （x＞0）．
h′（x）= ﹣2x＜0，因此函數h（x）在（0，+∞）上單調遞減，h（x）至多有一個零點．
∵c＜0，∴（c﹣1）2＞1，0＜ ＜1，∴ =（c﹣1）2﹣ ＞0，h（1）=﹣1＜0．
∴函數h（x）在 內有一個零點，因此函數h（x）在（0，+∞）上恰有一個零點．
【解析】（I）f′（x）=3x2+2ax+b，由于函數f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的圖象與x軸相切于點（3，0）．可得f′（3）=27+6a+b=0，f（3）=27+9a+3b=0，聯立解得a，b．即可得出．（II）命題p：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|＞1為假命題，等價于：命題：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤1為真命題．由g（x）+f（x）=﹣6x2+（3c+9）x，可得g（x）=﹣x3+3cx．由命題：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤1為真命題，可得|g（1）﹣g（﹣1）|≤1，解得c范圍．又g′（x）=﹣3x2+3c=﹣3 ．利用單調性與奇偶性，只需|g（ ）﹣g（﹣ ）|≤1，解得c，進而得出c的取值范圍．（III）h（x）+f（x）=x3﹣7x2+9x+clnx（c是與x無關的負數），h（x）=clnx﹣x2 ， （x＞0）．h′（x）= ﹣2x＜0，因此函數h（x）在（0，+∞）上單調遞減，h（x）至多有一個零點．再利用函數零點判定定理即可判斷出是否有零點．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．