Question

設直線. 若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
⑴已知函數．求證：為曲線的“上夾線”．
⑵觀察下圖：
          
根據上圖，試推測曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

⑴由得，當時，，
此時，， 
，所以是直線與曲線的一個切點；    
當時，，此時，，           
，所以是直線與曲線的一個切點；      
所以直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
對任意x∈R，，所以       
因此直線是曲線的“上夾線”．（6分）
⑵推測：的“上夾線”的方程為      
①先檢驗直線與曲線相切，且至少有兩個切點：設：
 ，令，得：（kZ） 
當時,
故：過曲線上的點(，)的切線方程為：
y－[]= [－()]，化簡得：．
即直線與曲線相切且有無數個切點．不妨設
②下面檢驗g(x)F(x)    g(x)－F(x)=
直線是曲線的“上夾線”．         （13分）