Question

設單調遞增等比數列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃=7，且a₃是a₁，a₂+5的等差中項，
（1）求數列{a_n}的通項；
（2）數列{c_n}滿足：對任意正整數n，++…+=22+均成立，求數列{c_n}的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（1）將已知條件a₁+a₂+a₃=7，且a₃是a₁，a₂+5的等差中項，用基本量表示，列出方程組，求出首項與公比，利用等比數列的通項公式求出數列{a_n}的通項．
（2）根據已知等式仿寫出新等式，兩式相減求出數列{c_n}的通項，利用等差數列的前n項和公式求出數列{c_n}的前n項和．
解答：解：（1）設等比數列{an}的公比為q，則 ，
兩式相減，得a₁q²=4，（3分）
代入第一方程得，
（舍），
又a₁=1，
所以a_n=2^n-1（6分）
（2）對任意正整數n，均成立，
n=1時，c₁=13（8分）
當n≥2時，，
兩式相減得
所以n≥2時，c_n=15-2n，
n=1也滿足此式 （12分）
∴=-n²+14n（14分）
點評：解決等差數列、等比數列的有關問題，一般利用通項公式及前n項和公式列出方程組，求出基本量，然后在解決．