Question

已知函數f（x）=x²+2x+alnx，若函數f（x）在（0，1）上單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）

A．a＜-4

B．a≥0

C．a≤-4

D．a＞0

Answer 1

分析：由函數f（x）在（0，1）上單調遞增，可得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立．即2x+2+

a

x

≥0，x∈（0，1）?a≥（-2x²-2x）_max，x∈（0，1）．利用二次函數的單調性求出即可．

解答：解：f′(x)=2x+2+

a

x

（x＞0）．
∵函數f（x）在（0，1）上單調遞增，∴f′（x）≥0在（0，1）上恒成立．
∴2x+2+

a

x

≥0，x∈（0，1）?a≥（-2x²-2x）_max，x∈（0，1）．
令g（x）=-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

，則g（x）在（0，1）單調遞減．
∴g（x）＜g（0）=0．
∴a≥0．
故選B．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、等價轉化、二次函數的性質等是解題的關鍵．