Question

設函數f(x)=3

4+3x-x2

（1）求函數的定義域；
（2）求函數的值域；
（3）求函數的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由4+3x-x²=-（x+1）（x-4）≥0 可求得x的范圍，即為函數的定義域．
（2）令t=4+3x-x²，由-1≤x≤4，求得t的范圍，可得

t

的范圍，從而求得3

t

的范圍，即為函數的值域．
（3）由于二次函數t=4+3x-x² 的對稱軸為x=

3

2

，且-1≤x≤4，由此可得函數的增區間、減區間．

解答：解：（1）由4+3x-x²=-（x+1）（x-4）≥0 可得-1≤x≤4，故函數的定義域為[-1，4]．
（2）令t=4+3x-x²，由-1≤x≤4，可得 0≤t≤

25

4

，0≤

t

≤

5

2

，1≤3

t

≤3

5

2

，而 3

5

2

=9

3

，∴1≤3

t

≤9

3

，
∴1≤f（x）≤9

3

，故函數的值域為 [1，9

3

]．
（3）由于二次函數t=4+3x-x² 的對稱軸為x=

3

2

，且-1≤x≤4，故函數的增區間為[-1，

3

2

]，減區間為[

3

2

，4]．

點評：本題主要考查指數型復合函數的定義域、值域以及單調性，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．