Question

已知函數f（x）=ax³-3x²+（c+3）x+c+8 在x=-2 時有極值1
（1）極值1是極大值還是極小值，說明理由，并求出f（x） 的另一個極值；
（2）過點A（0，10）作函數f （x）圖象的切線l，求直線l與函數g（x）=f（x）+x³-x 的圖象圍成的平面圖形的面積．

Answer 1

分析：解：（1）由題意得12a+12+c+3=0且-8a-12-2c-6+c+8=1求出a，c的值，代入導函數，判斷出導函數的符號，進一步判斷出函數的極值情況．
（2）利用導函數在切點處的導數值為切線的斜率，設出l的方程，將點A的坐標代入求出切線方程，求出l與切線g（x）的交點，利用定積分表示出平面圖形的面積．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²-6x+c+3
由題意得12a+12+c+3=0且-8a-12-2c-6+c+8=1
解得a=-1，c=-3
所以f（x）=-x³-3x²+5
所以f′（x）=-3x²-6x=-3x（x+2）
當x＜-2時，f′（x）＜0；當-2＜x＜0時，f′（x）＞0；當x＞0時，f′（x）＜0；
所以f（x）在x=-2時取到極小值1；當x=0時取到極大值為5．
（2）設l的切點為（m，-m³-3m²+5）則l的方程為：
y+m³⁺3m²-5=（-3m²-6m）（x-m）
因為過點A（0，10），
所以10+m³⁺3m²-5=（-3m²-6m）（-m）
解得m=-3或m=1
所以l的方程為y=-9x+10，
因為g（x）=-3x²-x+5，
由

g(x)=-3x2-x+5 y=-9x+10

得x1=

5

3

，x2=1
∴S=

∫

5 3 1

(-3x2-x+5+9x-10)dx=

4

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點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及利用導數研究曲線上某點的切線方程的能力．