Question

一袋中裝有4n只紅球和n只黑球（所有球的形狀、大小都相同），每一次從袋中摸出兩只球，且每次摸球后均放回袋中．現規定：摸出的兩只球顏色不同則為中獎．設三次摸球恰有一次中獎的概率為P，則當n=    時，使得P最大．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，設某一次中獎的概率為q，由古典概型公式和組合數公式可將q用n表示出來，進而由n次獨立重復試驗恰有k次發生的公式將p用q表示，分析可得q=時，p最大；
進而可得=，解可得n的值，即可得答案．
解答：解：根據題意，設某一次中獎的概率為q，
在4n只紅球和n只黑球任取2只有C_5n²種取法，若摸出的兩只球顏色不同即一紅一黑有C_4n¹×C_n¹種情況，
則q==；
若三次摸球恰有一次中獎，
則P=C₃¹q•（1-q）²=3q（1-q）²=[（2q）（1-q）（1-q）]，
分析可得，當2q=1-q，即q=時，p最大；
若q==，解可得n=5；
即n=5時，p最大；
故答案為5．
點評：本題考查排列、組合的應用，涉及基本不等式的運用，關鍵是熟練應用概率公式，求出兩只球顏色不同的概率以及三次摸球恰有一次中獎的概率．