Question

（1）判斷函數在x∈（0，+∞）上的單調性并證明你的結論；
（2）猜想函數在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的單調性。（只需寫出結論，不用證明）
（3）利用題（2）的結論，求使不等式在x∈[1，5]上恒成立時的實數m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）在(0，2]上是減函數，在[2，+∞)上是增函數。
證明：設任意，
則，
又設，則，∴；
∴在(0，2]上是減函數；
又設，則，∴，
∴在[2，+∞)上是增函數。
（2）由（1）及f(x)是奇函數，可猜想：f(x)在和上是增函數， f(x)在和上是減函數。
（3）∵在x∈[1，5]上恒成立，
∴x∈[1，5]上恒成立，
由（2）中結論，可知函數在x∈[1，5]上的最大值為10，此時x=1，
要使原命題成立，當且僅當，
∴，解得：m＜-2或，
∴實數m的取值范圍是{m|m＜-2或}。