Question

已知函數，（1）證明：|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（2）設x是正實數，求證：[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知，由0＜|x|＜1，0＜|t|＜1，知|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2s=（|t+x|+|t-x|²）=2（t²+x²）+2|t²-x²|-（|t+x|+|t-x|）²=2（t²+x²）+2|t²-x²|，由此能證明|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|．
（2），=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2．
解答：證明：（1）∵，∴，
∴，
當且僅當|tx|=1時，上式取等號．
∵0＜|x|＜1，0＜|t|＜1，
∴|tx|≠1，
∴|f（tx+1）|＞2s=（|t+x|+|t-x|²=2（t²+x²）+2|t²-x²|-（|t+x|+|t-x|）²=2（t²+x²）+2|t²-x²|
當|t|≥|x|時，s=4t²≤4；當|t|≤|x|時s=4x²＜4
∴|t+x|+|t-x|≤2＜|f（tx+1）|即|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（2）n=1時，結論顯然成立
當n≥2時，=

=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2．
點評：本題考查不等式的證明和應用，解題時要注意公式的合理應用．