Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-5|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）如果對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將f（x）寫成分段函數(shù)的形式，畫出函數(shù)圖象即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意將絕對(duì)值符號(hào)去掉得分段函數(shù)：
$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{6-2x，x≤1}\\{4，1＜x＜5}\\{2x-6，x≥5}\end{array}}\right.$，
作出函數(shù)的圖象，如圖：

由圖象可知，函數(shù)f（x）的最小值為4；
（2）∵對(duì)?x∈R，f（x）≥1，
∴|x-a|+|x-5|≥1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∵|x-a|+|x-5|=|a-x|+|x-5|≥|a-5|，
∴|a-5|≥1，
∴a≥6或a≤4，
∴a的取值范圍為（-∞，4]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查絕對(duì)值的幾何意義，考查分類討論，是一道中檔題．