Question

四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，E，F分別為AC和PB上的點，它的直觀圖，正視圖，側視圖．如圖所示，

（1）求EF與平面ABCD所成角的大小；
（2）求二面角B-PA-C的大小；
（3）求三棱錐C-BEF的體積．

Answer 1

分析：先由正視圖及側視圖可得，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為4正方形，側棱PA=4，且PA⊥平面ABCD
（1）由E，F為AC，PB的中點考慮取AB得中點M，則由已知可得MF⊥平面ABCD，則∠FEM即為直線EF與平面ABCD所成的角，在Rt△FEM中求解即可
（2）由已知條件可得，PA⊥AB，PA⊥AC可得∠BAC二面角B-PA-C的平面角
（3）由（1）知點F到平面BEC的距離為MF=2
由題意可得，利用換頂點求解V_C-BEF=V_F-BEC

解答：解：由正視圖及側視圖的可知，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為4正方形，側棱PA=4，且PA⊥平面ABCD
（1）取AB得中點M，連接ME，MF
則可得MF∥PA，由PA⊥平面ABCD可得MF⊥平面ABCD
∴∠FEM即為直線EF與平面ABCD所成的角
在Rt△FEM中，FM=2，ME=2，∴∠FEM=45°
EF與平面ABCD所成角為45°
（2）由已知條件可得，PA⊥AB，PA⊥AC
∴∠BAC二面角B-PA-C的平面角
∵∠BAC=45°∴二面角B-PA-C的平面角的大小為45°
（3）由（1）知點F到平面BEC的距離為MF=2
由題意可得，V_C-BEF=V_F-BEC=

1

3

S△BEC•FM=

1

3

×

1

2

×4×2×2=

8

3

點評：本題主要考查了直線與平面所成的角及二面角的平面角的求解，其關鍵是要由三視圖中的數據還原直觀圖的數據，而換頂點求解錐體的體積及求解點到直線的距離是高考的一個熱點．