Question

“神州”號飛船返回艙順利到達地球后，為了及時將航天員救出，地面指揮中心在返回艙預計到達的區域安排了同一條直線上的三個救援中心（記為B，C，D）．當返回艙距地面1萬米的P點時（假定以后垂直下落，并在A點著陸），C救援中心測得飛船位于其南偏東60°方向，仰角為60°，B救援中心測得飛船位于其南偏西30°方向，仰角為30°．D救援中心測得著陸點A位于其正東方向．
（1）求B，C兩救援中心間的距離；
（2）D救援中心與著陸點A間的距離．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知△PAC，△PAB均為直角三角形，進而分別在兩個三角形中利用其中的一角和一邊求得AC和AB，最后利用勾股定理求得BC．
（2）先利用同角三角函數的基本關系求得cos∠ACD，進而利用sin∠ADC=sin（30°+∠ACD）借助兩角和公式求得sin∠ADC，最后利用正弦定理求得AD．

解答：解：（1）由題意知PA⊥AC，PA⊥AB，則△PAC，△PAB均為直角三角形
在Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=60°，解得AC=

3

3

在Rt△PAB中，PA=1，∠PBA=30°，解得AB=

3

又∠CAB=90°，BC=

AC2+BC2

=

30

3

萬米
（2）sin∠ACD=sin∠ACB=

3

10

，cos∠ACD=-

1

10

，
又∠CAD=30°，所以sin∠ADC=sin(30°+∠ACD)=

3 3 -1

2 10

在△ADC中，由正弦定理，

AC

sin∠ADC

=

AD

sin∠ACD

AD=

AC•sin∠ACD

sin∠ADC

=

9+ 3

13

萬米

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．解此類題的要點是建立適當的三角函數模型，利用三角函數的基本公式和定理進行求解．