Question

（2011•邢臺一模）已知函數f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0），設h（x）=f（x）+g（x）．
（1）求h（x）的單調區間；
（2）若在y=h（x）在x∈（0，3]的圖象上存在一點P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≥

1

2

成立，求實數a的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于h′（x）=

x-a

x2

，由h′（x）＞0，可求其單調增區間，h′（x）＜0可求其單調減區間；
（2）依題意，以P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率h′（x₀）=k=

x0-a

x02

≥

1

2

成立?a≤(-

1

2

x02+x0)max（x∈（0，3]），求得(-

1

2

x02+x0)max即可．

解答：解：（1）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

a

x

，其定義域為（0，+∞）．
h′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，令h′（x）=

x-a

x2

=0，則x=a
于是，當x＞a時，h′（x）＞0，h（x）為增函數；
當x＜a時，h′（x）＜0，h（x）為減函數；
∴h（x）的單調增區間為（a，+∞），h（x）的單調減區間是（0，a）．
（2）∵h′（x₀）=

x0-a

x02

=k，
∴在區間（0，3]上存在一點P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率h′（x₀）=k=

x0-a

x02

≥

1

2

成立，
即a≤-

1

2

x02+x₀，等價于a≤(-

1

2

x02+x0)max（x∈（0，3]）．
∵-

1

2

x02+x₀=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

，
∴(-

1

2

x02+x0)max=

1

2

．
于是a≤

1

2

，即a的最大值為

1

2

．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，利用導數的幾何意義研究曲線上某點切線方程，考查分析問題與等價轉化解決問題的能力，屬于中檔題．